القيمة الزمنية للنقود

هو موضوع هام في احتساب القيم الحالية للنقود، و المحاسبون عادةً يفضلون استخدام الجداول الجاهزة لأنها أسهل، لكنني أحببت أن أشرح المعادلات المتعلقة هنا نظراً لأهميتها في أمور كثير في التمويل و ماشابه، و أيضاً تسهّل فهم الجداول. و سنمر على الجداول من خلال الشروحات ماقدرنا بإذن الله.

فترة واحدة
One Period Case

1– تأكد تام

أن يقبض الشخص الآن 10,000$ أم يقبض 11,427$ بعد سنة علماً أنه لو وضع المبلغ في البنك فسيحصل على فائدة 12% (0.12)

PV = C1 / 1 + r

حيث r هي الـ rate معدل الفائدة في السوق، و C1 هي القيمة المستقبلية للتدفق النقدي لفترة واحدة قادمة (date 1)

PV = 11,424 / 1.12 = $10,200

مثال آخر: شراء أرض بـ 85,000$ بعد سنة سيصبح سعرها 91,000$ علماً أن سعر الفائدة في السوق 10%

PV = 91,000 / 1.10 = $82,727.27

Net Present Value   NPV = -Cost + PV

NPV = -85,000 + 82,727.27 = -2,273

و هي قيمة سالبة فهذا الاستثمار غير مجدي

2– عدم التأكد

حيث تعتبر نسبة المخاطرة كما لو كانت نسبة (فائدة) جديدة. لنفرض أن شخصاً يرغب في شراء شيئاً بـ 400,000$ معتقداً أنه يمكن بيعه بـ 480.000$ بعد سنة (فترة واحدة) و أن معدل الفائدة في السوق هو 10%

PV = 480,000 / 1.10 = $436,364

و لكن الـ 10% هي سعر فائدة أكيد دون مخاطر، لذلك يتم وضع نسبة مخاطرة تم تقديرها هنا بـ 25%

PV = 480,000 / 1.25 = $384,000

لذلك فالشراء غير مجدي

فترات متعددة
The Multiperiod Case

1– Future Value & Compounding

عملية المال في الأسواق الرأسمالية Capital Market و إعادة تأجيرها هناك (استثمارها) تسمى بـ compounding، مثلاً إن المبالغ المودعة في بنك ستحصل على فائدة السنة الأولى تضاف إلى المبلغ الأصلي، و في السنة الثانية ستحصل على فائدة على المبلغ المتراكب (المبلغ الأصلي + الفائدة للسنة الأولى)

FV = C0 x (1 + r)^T

فلو وضع شخص 500$ في حساب بنكي فائدته 7% في السنة فسيكون حسابه في السنة الثالثة

FV = 500 x (1.07)^3 = $612.52

و بالنسبة للطريقة البسيطة من الجداول فباستخدام جدول: Future Value of $1 at the end of T period و ذلك عند الفترة 3 و الفائدة 7% يظهر لنا أن النسبة الملائمة هي 1.2250 فيكون:

500 x 1.2250 = $612.52

2– Present Value & Discounting

كم يجب أن أقرض اليوم كي أحصل على قيمة مقدارها كذا (محدد) بعد فترة زمنية

PV = Cτ / (1 + r)^T

حيث Cτ هي مقدار التدفقات النقدية في التاريخ T

مثال: سيقبض 10,000$ بعد 3 سنوات و سعر الفائدة في السوق هو 8%

PV = 10,000 / (1.08)^3 = $7,938

أما بالنسبة للجداول فباستخدام جدول Present Value of $1 to be received after T period وذلك للفترة 3 و فائدة 8% فيظهر أن النسبة هي 0.7938 و يكون

10,000 x 0.7938 = $7.938

مثال: ما هي القيمة الحالية للتدفقات النقدية التالية: في السنة الأولى سنقبض 2,000$ و في السنة الثانية سنقبض 5,000$ علماً أن سعر الفائدة الحالي 6%

السنة الأولى

$1,887 = 2,000 / (1.06)

السنة الثانية

$4,450 = 5,000 / (1.06)^2

و القيمة الحالية للتدفقات هي مجموع الاثنين: 6,337$

فترات متراكبة
Compounding Periods

حتى الآن افترضنا أن التجميع التراكمي (التراكب) يخصل سنوياً، و لكنه أحياناً يحصل بشكل متكرر أكثر (كل 6 أشهر مثلاً)، فلو كانت سنة  يقبض فيها مرتين و الفائدة 10% تصبح كأنها فترتين بفائدة 5% للفترة و نستطيع استخدام الجدول Future Value of $1 at the end of T period بنفس الأسلوب فترة 2 و فائدة 5%، و المعادلة هي:

FV = C0 x (1 + r/m)^m

حيث r هي نسبة الفائدة و m عدد مرات التجميع (مثلاً نصف سنوي = 2)

فلو وضع شخص 1$ في بنك بفائدة 24% تتراكب شهرياً سيكون مبلغه في نهاية السنة:

$1.2682 = 1(1 + 0.24/12)^12

و هنا نهتم بما يسمى بالـ

Effective Annual Interest Rate = (1 + r/m)^m – 1

و أحياناً تسمى بـ effective annual yield

Compounding over Many Years

FV = C0 x (1 + r/m)^(mT)

مثال ذلك 5,000$ بفائدة 12% بالسنة تُركب كل أربعة شهور و ذلك لمدة 5 سنوات

$9,030.50 = 5,000 (1 + 0.12/4)^(4×5)

Continuous Compounding

و ذلك لو كانت عملية التراكب مستمرة دائماً (كل شهر مثلاً، أو يومياً، أو كل ساعة، أو حتى كل دقيقة)

FV = C0 x e^(rT)

حيث e = 2.718 تقريباً

مثال: استثمار 1,000$ في بنك لمدة سنة بتراكب مستمر و فائدة 10% للسنة

$1,105.20 = 1,000 x e^(1 x 0.10)

التبسيط للمسألة

بعد هذه المقدمة يمكن تلخيص المسألة في أربع نقاط:

الاستمرارية بدون نهاية Perpetuity
الاستمرارية مع زيادة Growing Perpetuity
دفعات منتظمة على فترات محددة Annuity
دفعات منتظمة متزايدة على فترات محددة Growing Annuity

Perpetuity

PV = C / r

Growing Perpetuity

PV = C / (1-g)

حيث g معدل النمو، و هنا و فيما بعد ستمثل الـ C التدفقات النقدية للسنة القادمة (التالية)

مثال: سيقبض 100,000$ السنة التالية و أنها ستزداد بمعدل 5% كل سنة و معدل الفائدة هو 11%

PV = 100,000 / (0.11 – 0.05) = $1,666,667

و كتأكيد على أن الـ C ستخص الفترة التالية، للنظر هذا المثال حيث شركة ما ستدفع الآن 3$ للسهم، و يتوقع أن الأرباح هذه ستزداد بـ 6% سنوياً باستمرار، فإن سعر السهم اليوم هو:

PV = $3 + $3.18 / (0.11 – 0.06) = $66.60

حيث 3$ هي الدفعة الحالية، و 3.18 هي القيمة المستقبلية للـ 3$ بعد سنة

Annuity

PV = C x [ 1/r – 1/r(1+r)^T ]

مثال: سيقبض 1,000,000$ خلال 20 سنة بحيث يقبض 50,000 كل سنة لمدة 20 سنة، سيستلم أول دفعة السنة القادمة، معدل الفائدة 8%، فيكون:

490,905 = 50,000 x [ 1/0.08 – 1/0.08 (1.08)^20 ]

إذاً الدفعة ستتم السنة القادمة، لو كانت ستتم في تاريخ 6 (date 6) باستخدام المعادلة السابقة سيظهر لنا القيمة الحالية (xx) بتاريخ 5، و لكننا نريده بتاريخ 0 (الآن) فنقوم بحساب القيمة الحالية للناتج xx من خلال المعادلة:

حيث T هي 5 و CT هو xx

PV = CT / (1 + r)^T

أما لو تمت الدفعة 50,000 الآن (date 0) و ليس السنة القادمة، فتكون T هي 19 بدلاً من 20 ، و يكون القيمة الحالية للمبلغ ككل:

$50,000 + القيمة الحالية لـ 19 سنة لمبلغ الحمسين ألف

أما لو كانت الدفعة الأولى ستتم بعد سنتين، و ستكزن باقي الدفعات كل سنتين بدلاً من كل سنة، فتصبح الفائدة التي نحتسب بناءً عليها في القانون
هي: (1.08×1.08 -1) أما لو كانت 3 سنوات فتكون: (1.08×1.08×1.08 – 1)

مثال: يفكران في كم يجب أن يستثمرا الآن حتى يتمكنا في وضع ابنهما المولود حديثاً في الجامعة. سيدخل الجامعة و عمره 18 سنة، لذلك يجب أن يضعا مبلغاً في البنك ليتراكب ليغطي تكلفة دراسة ابنهما لمدة 4 سنوات في الجامعة، علماً أن السنة يقدران أنها تكلف: 30,000$، و بالتالي ماهو المبلغ الذي يجب أن يضعاه في البنك في نهاية كل سنة، علماً أن الدفع سيتوقف في نهاية السنة 17 ومعدل الفائدة 14%.

نحسب القيمة الحالية حسب القانون هنا للـ 30,000 لمدة أربع سنوات حيث T = 4 و هي القيمة الحالية بتاريخ 17، سنحسب بعدها القيمة الحالية لهذا المبلغ بتاريخ 0، و هي القيمة الحالية لكل مايجب دفعه في 17 سنة، يبقى لدينا احتساب قيمة القسط: أي كم يجب ان نودع في البنك سنوياً لمدة 17 سنة لينتج الناتج في المرحلة السابقة؟ بتطبيق القانون السابق لدينا كل شئ ماعدا C فيمكن حسابها إذاً و هي قيمة القسط

Growing Annuity

PV = C[1/(r-g) – 1/(r-g) x (1+g / 1+r)^T ]

أو

هذه المعادلة هامة، و حتى الآن لا يوجد برنامج لايجاد النتيجة بعكس المعادلات السابقة، لذلك يجب حسابها يدوياً