هو موضوع هام في احتساب القيم الحالية للنقود، و المحاسبون عادةً يفضلون استخدام الجداول الجاهزة لأنها أسهل، لكنني أحببت أن أشرح المعادلات المتعلقة هنا نظراً لأهميتها في أمور كثير في التمويل و ماشابه، و أيضاً تسهّل فهم الجداول. و سنمر على الجداول من خلال الشروحات ماقدرنا بإذن الله.
فترة واحدة
One Period Case
1– تأكد تام
أن يقبض الشخص الآن 10,000$ أم يقبض 11,427$ بعد سنة علماً أنه لو وضع المبلغ في البنك فسيحصل على فائدة 12% (0.12)
PV = C1 / 1 + r
حيث r هي الـ rate معدل الفائدة في السوق، و C1 هي القيمة المستقبلية للتدفق النقدي لفترة واحدة قادمة (date 1)
PV = 11,424 / 1.12 = $10,200
مثال آخر: شراء أرض بـ 85,000$ بعد سنة سيصبح سعرها 91,000$ علماً أن سعر الفائدة في السوق 10%
PV = 91,000 / 1.10 = $82,727.27
Net Present Value NPV = -Cost + PV
NPV = -85,000 + 82,727.27 = -2,273
و هي قيمة سالبة فهذا الاستثمار غير مجدي
2– عدم التأكد
حيث تعتبر نسبة المخاطرة كما لو كانت نسبة (فائدة) جديدة. لنفرض أن شخصاً يرغب في شراء شيئاً بـ 400,000$ معتقداً أنه يمكن بيعه بـ 480.000$ بعد سنة (فترة واحدة) و أن معدل الفائدة في السوق هو 10%
PV = 480,000 / 1.10 = $436,364
و لكن الـ 10% هي سعر فائدة أكيد دون مخاطر، لذلك يتم وضع نسبة مخاطرة تم تقديرها هنا بـ 25%
PV = 480,000 / 1.25 = $384,000
لذلك فالشراء غير مجدي
فترات متعددة
The Multiperiod Case
1– Future Value & Compounding
عملية المال في الأسواق الرأسمالية Capital Market و إعادة تأجيرها هناك (استثمارها) تسمى بـ compounding، مثلاً إن المبالغ المودعة في بنك ستحصل على فائدة السنة الأولى تضاف إلى المبلغ الأصلي، و في السنة الثانية ستحصل على فائدة على المبلغ المتراكب (المبلغ الأصلي + الفائدة للسنة الأولى)
FV = C0 x (1 + r)^T
فلو وضع شخص 500$ في حساب بنكي فائدته 7% في السنة فسيكون حسابه في السنة الثالثة
FV = 500 x (1.07)^3 = $612.52
و بالنسبة للطريقة البسيطة من الجداول فباستخدام جدول: Future Value of $1 at the end of T period و ذلك عند الفترة 3 و الفائدة 7% يظهر لنا أن النسبة الملائمة هي 1.2250 فيكون:
500 x 1.2250 = $612.52
2– Present Value & Discounting
كم يجب أن أقرض اليوم كي أحصل على قيمة مقدارها كذا (محدد) بعد فترة زمنية
PV = Cτ / (1 + r)^T
حيث Cτ هي مقدار التدفقات النقدية في التاريخ T
مثال: سيقبض 10,000$ بعد 3 سنوات و سعر الفائدة في السوق هو 8%
PV = 10,000 / (1.08)^3 = $7,938
أما بالنسبة للجداول فباستخدام جدول Present Value of $1 to be received after T period وذلك للفترة 3 و فائدة 8% فيظهر أن النسبة هي 0.7938 و يكون
10,000 x 0.7938 = $7.938
مثال: ما هي القيمة الحالية للتدفقات النقدية التالية: في السنة الأولى سنقبض 2,000$ و في السنة الثانية سنقبض 5,000$ علماً أن سعر الفائدة الحالي 6%
السنة الأولى
$1,887 = 2,000 / (1.06)
السنة الثانية
$4,450 = 5,000 / (1.06)^2
و القيمة الحالية للتدفقات هي مجموع الاثنين: 6,337$
فترات متراكبة
Compounding Periods
حتى الآن افترضنا أن التجميع التراكمي (التراكب) يخصل سنوياً، و لكنه أحياناً يحصل بشكل متكرر أكثر (كل 6 أشهر مثلاً)، فلو كانت سنة يقبض فيها مرتين و الفائدة 10% تصبح كأنها فترتين بفائدة 5% للفترة و نستطيع استخدام الجدول Future Value of $1 at the end of T period بنفس الأسلوب فترة 2 و فائدة 5%، و المعادلة هي:
FV = C0 x (1 + r/m)^m
حيث r هي نسبة الفائدة و m عدد مرات التجميع (مثلاً نصف سنوي = 2)
فلو وضع شخص 1$ في بنك بفائدة 24% تتراكب شهرياً سيكون مبلغه في نهاية السنة:
$1.2682 = 1(1 + 0.24/12)^12
و هنا نهتم بما يسمى بالـ
Effective Annual Interest Rate = (1 + r/m)^m – 1
و أحياناً تسمى بـ effective annual yield
Compounding over Many Years
FV = C0 x (1 + r/m)^(mT)
مثال ذلك 5,000$ بفائدة 12% بالسنة تُركب كل أربعة شهور و ذلك لمدة 5 سنوات
$9,030.50 = 5,000 (1 + 0.12/4)^(4×5)
Continuous Compounding
و ذلك لو كانت عملية التراكب مستمرة دائماً (كل شهر مثلاً، أو يومياً، أو كل ساعة، أو حتى كل دقيقة)
FV = C0 x e^(rT)
حيث e = 2.718 تقريباً
مثال: استثمار 1,000$ في بنك لمدة سنة بتراكب مستمر و فائدة 10% للسنة
$1,105.20 = 1,000 x e^(1 x 0.10)
التبسيط للمسألة
بعد هذه المقدمة يمكن تلخيص المسألة في أربع نقاط:
الاستمرارية بدون نهاية Perpetuity
الاستمرارية مع زيادة Growing Perpetuity
دفعات منتظمة على فترات محددة Annuity
دفعات منتظمة متزايدة على فترات محددة Growing Annuity
Perpetuity
PV = C / r
Growing Perpetuity
PV = C / (1-g)
حيث g معدل النمو، و هنا و فيما بعد ستمثل الـ C التدفقات النقدية للسنة القادمة (التالية)
مثال: سيقبض 100,000$ السنة التالية و أنها ستزداد بمعدل 5% كل سنة و معدل الفائدة هو 11%
PV = 100,000 / (0.11 – 0.05) = $1,666,667
و كتأكيد على أن الـ C ستخص الفترة التالية، للنظر هذا المثال حيث شركة ما ستدفع الآن 3$ للسهم، و يتوقع أن الأرباح هذه ستزداد بـ 6% سنوياً باستمرار، فإن سعر السهم اليوم هو:
PV = $3 + $3.18 / (0.11 – 0.06) = $66.60
حيث 3$ هي الدفعة الحالية، و 3.18 هي القيمة المستقبلية للـ 3$ بعد سنة
Annuity
PV = C x [ 1/r – 1/r(1+r)^T ]
مثال: سيقبض 1,000,000$ خلال 20 سنة بحيث يقبض 50,000 كل سنة لمدة 20 سنة، سيستلم أول دفعة السنة القادمة، معدل الفائدة 8%، فيكون:
490,905 = 50,000 x [ 1/0.08 – 1/0.08 (1.08)^20 ]
إذاً الدفعة ستتم السنة القادمة، لو كانت ستتم في تاريخ 6 (date 6) باستخدام المعادلة السابقة سيظهر لنا القيمة الحالية (xx) بتاريخ 5، و لكننا نريده بتاريخ 0 (الآن) فنقوم بحساب القيمة الحالية للناتج xx من خلال المعادلة:
حيث T هي 5 و CT هو xx
PV = CT / (1 + r)^T
أما لو تمت الدفعة 50,000 الآن (date 0) و ليس السنة القادمة، فتكون T هي 19 بدلاً من 20 ، و يكون القيمة الحالية للمبلغ ككل:
$50,000 + القيمة الحالية لـ 19 سنة لمبلغ الحمسين ألف
أما لو كانت الدفعة الأولى ستتم بعد سنتين، و ستكزن باقي الدفعات كل سنتين بدلاً من كل سنة، فتصبح الفائدة التي نحتسب بناءً عليها في القانون
هي: (1.08×1.08 -1) أما لو كانت 3 سنوات فتكون: (1.08×1.08×1.08 – 1)
مثال: يفكران في كم يجب أن يستثمرا الآن حتى يتمكنا في وضع ابنهما المولود حديثاً في الجامعة. سيدخل الجامعة و عمره 18 سنة، لذلك يجب أن يضعا مبلغاً في البنك ليتراكب ليغطي تكلفة دراسة ابنهما لمدة 4 سنوات في الجامعة، علماً أن السنة يقدران أنها تكلف: 30,000$، و بالتالي ماهو المبلغ الذي يجب أن يضعاه في البنك في نهاية كل سنة، علماً أن الدفع سيتوقف في نهاية السنة 17 ومعدل الفائدة 14%.
نحسب القيمة الحالية حسب القانون هنا للـ 30,000 لمدة أربع سنوات حيث T = 4 و هي القيمة الحالية بتاريخ 17، سنحسب بعدها القيمة الحالية لهذا المبلغ بتاريخ 0، و هي القيمة الحالية لكل مايجب دفعه في 17 سنة، يبقى لدينا احتساب قيمة القسط: أي كم يجب ان نودع في البنك سنوياً لمدة 17 سنة لينتج الناتج في المرحلة السابقة؟ بتطبيق القانون السابق لدينا كل شئ ماعدا C فيمكن حسابها إذاً و هي قيمة القسط
Growing Annuity
PV = C[1/(r-g) – 1/(r-g) x (1+g / 1+r)^T ]
أو
هذه المعادلة هامة، و حتى الآن لا يوجد برنامج لايجاد النتيجة بعكس المعادلات السابقة، لذلك يجب حسابها يدوياً
Corporate Finance
Ross, Westerfield, Jaffe
McGRAW-Hill, 5th Edition, 1999
اللة يعمر بيتك